Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程组 的解，点C是直

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程组 的解，点C是直线 与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD= (1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

(1) (3，6) (2) y="-x+6" (3)  Q 1 (-3 ，3 ) Q 2 (3 ，-3 ) Q 3 (3，-3) Q 4 (6，6)

解：(1)OA=6，OB=12  ……………………………………………………………1分 直线AB ……………………………………1分 联立 ……………………………………2分 ∴ 点C的坐标为(3，6)……………………………………………………1分 (2) 点D的坐标为(2，4)……………………………………………………1分 设直线AD的解析式为y=kx+b． 把A(6，0)，D(2，4)代人得 ……………………………………1分 解得 ∴ 直线AD的解析式为y=-x+6  ………………………………………1分 (3)存在． Q 1 (-3 ，3 )……………………………………………………………1分 Q 2 (3 ，-3 )………………………………………………………………1分 Q 3 (3，-3)  …………………………………………………………………1分 Q 4 (6，6)  ……………………………………………………………………1分 （1）设直线AB的解析为y=kx+b，解方程组方程组 2x=y，x-y="6" ，得到的解即为OA，OB的长度，进而知道A和B的坐标，再把其横纵坐标分别代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直线y=2x联立解方程组，方程组的解即为点C的坐标； （2）要求直线AD的解析式，需求出D的坐标，因为点D在直线OC上因此可设D（a，2a），又因为OD= ，由勾股定理可求出a的值，从而求得点D的坐标，把A、D的坐标代入，利用方程组即可求解； （3）由（2）中D的坐标可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM= ，OM=6- ，即P（6-  ，  ），所以Q的横坐标为6- -6=- ，Q1（- ，  ）；若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM= ，OM=6+ ，即P（6+ ，- ），所以Q的横坐标为6+ -6= ，Q 2 （ ，- ）；若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形．又因正方形边长为6，所以此时Q（6，6）；若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q（3，-3）．