Question

已知：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C

已知：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m 之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存 在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意得 ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为 ；
（2）连接AC、BC， 因为BC的长度一定，所以要使△PBC周长最小，就是使PC+PB最小， B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P， 设直线AC的表达式为y=kx+b， 则 解得： ∴此直线的表达式为 ， 把x=-1代入得 ， ∴P点的坐标为 ；
（3） ，S存在最大值， 理由： ∵DE∥PC，即DE∥AC， ∴△OED∽△OAC， ∴ 即 ∴ AE=3-OE= 连接OP， S=S 四边形PDOE -S △OED= S △POE +S △POD -S △OED = 且 ∴当m=1时，S 最大 = 。