Question

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c经过 A(0,4)，B（4,0）,C（–1,0）三点.过点A作垂直于y轴的直线l. 在抛物线

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c经过 A(0,4)，B（4,0）,C（–1,0）三点.过点A作垂直于y轴的直线l. 在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q .连结AP.小题1:求抛物线y=ax 2 +bx+c的解析式；小题2:是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似.如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；小题3:当点P位于抛物线y=ax 2 +bx+c的对称轴的右侧.若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式.

Answer 1

小题1:y=-x 2 +3x+4  小题2:(-1,0),( , ),(3,4),(7, -24) 小题3:y=x+4,  y=-x+4, y=-2x+4

小题1:解三个未知数，需要至少三个式子，正好给了三个点，分别代入原式得 c=4 16a+4b+c=0 a-b+c=0 解得： a=-1,b=3,c=4 解析式为 y=" -" x^2+3x+4 x∈R 小题2:(2)设存在点P，若点P横坐标为X，则纵坐标为-X²+3X+4，则AQ=lxl，PQ=l-X²+3X+4-4l 由题意得AQ/PQ=OA/OC=4或AQ/PQ=OC/OA=1/4 即l-X²+3Xl=4lXl或l-X²+3Xl=1/4lXl 解得X1=-1，X2=7；X3=11/4， X4=3 带入得(-1,0),( , ),(3,4),(7, -24) 小题3:即求Q关于直线AP的对称点问题 依然设P点为(x,-x^2+3x+4) AP直线方程为 Y-(-x^2+3x+4)="(-x+3)(X-x)" (X和x不同，x是坐标值，X是未知量) 则Q点坐标为(x,4) 再设M点坐标为(m,n) 则有两个式子成立 ①(n-4)/(m-x)=1/(x-3)  (两直线互相垂直) ②(n+4)/2-(-x^2+3x+4)="(-x+3)[(m+x)/2-x]" (QM的中点在直线AP上) 根据已知条件再分两种情况： 1、假设M点落在y轴上，则m=0 根据①②式求得: x1=2    x2=4 (解的时候有点复杂，计算有点多) 2、假设M点落在x轴上，则n=0 根据①②式求得: x3=4     x4=5 则，当x=2,4,5时，M都可以落在坐标轴上 对应的AP直线方程分别是 【直接将x=2,4,5代入到Y-(-x^2+3x+4)=(-x+3)(X-x)】 y-6=x-2 y=-(x-4) y+6=-2(x-5) 即y=x+4,  y=-x+4, y=-2x+4