Question

（1）已知抛物线y 2 =2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：

（1）已知抛物线y 2 =2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证： OA ? OB 为定值；（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线 l 交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得 PA ? PB 为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．

Answer 1

（1）若直线l垂直于x轴，则 A( p 2 ，p) ， B( p 2 ，-p) . OA ? OB = ( p 2 ) 2 - p 2 =- 3 4 p 2 ．…（2分） 若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x- p 2 ) ，A（x 1 ，y 1 ）B（x 2 ，y 2 ）． 由 y=k(x- p 2 ) y 2 =2px ? k 2 x 2 -p(2+ k 2 )x+ p 2 4 k 2 =0 x 1 + x 2 = (2+ k 2 ) k 2 p， x 1 ? x 2 = p 2 4 ．…（4分） ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 = x 1 x 2 + k 2 ( x 1 - p 2 )( x 2 - p 2 ) = (1+ k 2 ) x 1 x 2 - p 2 k 2 ( x 1 + x 2 )+ p 2 k 2 4 = (1+ k 2 ) p 2 4 - p 2 k 2 ? (2+ k 2 )p k 2 + p 2 k 2 4 =- 3 4 p 2 ． 综上， OA ? OB = - 3 4 p 2 为定值．…（6分） （2）关于椭圆有类似的结论： 过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞0，b＞0) 的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使 OA ? OB 为定值． 证明：不妨设直线l过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 的右焦点F（c，0）（其中 c= a 2 - b 2 ） 若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x 1 ，y 1 ）B（x 2 ，y 2 ）． 由 y=k(x-c) x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ?( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 -2 a 2 c k 2 x+( a 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-01-02 已知抛物线y^2=2px（p>0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，求证： 11 2013-12-05 已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|= 12 2016-12-01 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．（1 2 2016-12-01 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过点AB的中点M作抛 5 2019-02-13 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A... 2014-07-03 （1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证： 1 2011-06-17 已知抛物线y^2=2px的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，坐标为(x1,y1)，(x2,y2 1 2016-11-05 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式