（1）已知抛物线y 2 =2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：

（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：OA?OB为定值；（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线... （1）已知抛物线y 2 =2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证： OA ? OB 为定值；（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线 l 交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得 PA ? PB 为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．展开

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#合辑# 机票是越早买越便宜吗？

零一挚然妇
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知道答主

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（1）若直线l垂直于x轴，则 A(

，p) ， B(

，-p) .

= (

) 2 - p 2 =-

p 2 ．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x-

) ，A（x₁ ，y₁ ）B（x₂ ，y₂ ）．
由

y=k(x-

)

y 2 =2px

? k 2 x 2 -p(2+ k 2 )x+

p 2

k 2 =0 x 1 + x 2 =

(2+ k 2 )

k 2

p， x 1 ? x 2 =

p 2

．…（4分）
∴

=x₁ x₂ +y₁ y₂ = x 1 x 2 + k 2 ( x 1 -

)( x 2 -

) = (1+ k 2 ) x 1 x 2 -

k 2 ( x 1 + x 2 )+

p 2 k 2

= (1+ k 2 )

p 2

k 2 ?

(2+ k 2 )p

k 2

p 2 k 2

p 2 ．
综上，

= -

p 2 为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆

x 2

a 2

y 2

b 2

=1(a＞0，b＞0) 的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使

为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆

x 2

a 2

y 2

b 2

=1 的右焦点F（c，0）（其中 c=

a 2 - b 2

）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x₁ ，y₁ ）B（x₂ ，y₂ ）．
由

y=k(x-c)

x 2

a 2

y 2

b 2

?( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 -2 a 2 c k 2 x+( a

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