Question

已知关于x的方程x 2 -（q+p+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代

已知关于x的方程x 2 -（q+p+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示p、q；（2）求证：α≤1≤β；（3）若以α、β为坐标的点M（α、β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ 1 2 ，1），C（1，1），问是否存在点M，使p+q= 5 4 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵α、β为方程x 2 -（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根， ∴判别式△=（p+q+1） 2 -4p=（p+q-1） 2 +4q≥0， 且α+β=p+q+1，αβ=p， 于是p=αβ， q=α+β-p-1=α+β-αβ-1； （2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0）， 又α≤β， ∴a≤1≤β； （3）若使p+q= 5 4 成立，只需α+β=p+q+1= 9 4 ， ①当点M（α，β）在BC边上运动时， 由B（ 1 2 ，1），C（1，1）， 得 1 2 ≤α≤1，β=1， 而α= 9 4 -β= 9 4 -1= 5 4 ＞1， 故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ 5 4 ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点 ②当点M（α，β）在AC边上运动时， 由A（1，2），C（1，1）， 得a=1，1≤β≤2， 此时β= 9 4 -α= 9 4 -1= 5 4 ， 又因为1＜ 5 4 ＜2， 故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， 5 4 ）； ③当点M（α，β）在AB边上运动时， 由A（1，2），B（ 1 2 ，1）， 得 1 2 ≤α≤1，1≤β≤2， 由平面几何知识得 1-α 1- 1 2 = 2-β 2-1 ， 于是β=2α， 由 β=2α α+β= 9 4 解得α= 3 4 ，β= 3 2 ， 又因为 1 2 ＜ 3 4 ＜1，1＜ 3 2 ＜2， 故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ 3 4 ， 3 2 ）． 综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， 5 4 ）和点（ 3 4 ， 3 2 ），使p+q= 5 4 成立．