Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC= AB，P是边AC上的一个点，AP= PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC= AB，P是边AC上的一个点，AP= PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E．（1）求证：AD∥BC；（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由．

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Answer 1

（1）证明：∵  ，  ， ∴  ．  又∵∠APD=∠ABC， ∴△APD∽△ABC．  ∴∠DAP=∠ACB．  ∴AD∥BC．  （2）解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∴∠DAP=∠DPA． ∴AD=PD．  ∵AP=x，∴AD=2x ∵  ，AB=4，∴BC=2． ∵AD∥BC， ∴  ，即 整理，得y关于x的函数解析式为 定义域为   （3）解：平行证明： ∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E， ∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE ∴  ，即 把 代入，整理得  ． ∴x=2，x=-2（舍去） ∴y=4． ∴AP=CP，AB=BE ∴BP∥CE，即BP∥DE．