Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 S n = 2 n -1 （n∈N*）．（1）求数列{a n }的通项公式；

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足 S n = 2 n -1 （n∈N*）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =S n ?a n ，且数列{b n }的前n项和为T n ，求6a n -T n 的最大值及此时n的值．

Answer 1

（1）当n=1时，a 1 =S 1 =1，…（2分） 当n＞1时， a n = S n - S n-1 =( 2 n -1)-( 2 n-1 -1)= 2 n - 2 n-1 = 2 n-1 ， ∵a 1 =1适合上式，∴{a n }的通项公式是 a n = 2 n-1 ．…（6分） （2） b n =( 2 n -1) 2 n-1 = 2 2n-1 - 2 n-1 ，…（7分） ∴ T n =( 2 1 + 2 3 + 2 5 +…+ 2 2n-1 )-( 2 0 + 2 1 + 2 2 +…+ 2 n-1 ) = 2(1- 4 n ) 1-4 - 1- 2 n 1-2 = 2? 4 n -2 3 - 2 n +1= 2 3 ? 4 n - 2 n + 1 3 …（11分） 故 6 a n - T n =- 2 3 ? 4 n +4? 2 n - 1 3 =- 2 3 ( 2 n -3 ) 2 + 17 3 ， 所以当n=1或2时，（6a n -T n ） max =5…（14分）