Question

（2013?嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC2=CD?CA．（1）求证：∠A=∠CBD；

（2013?嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC2=CD?CA．（1）求证：∠A=∠CBD；（2）当∠A=α，BC=2时，求AD的长（用含α的锐角三角比表示）．

Answer 1

（1）∵BC²=CD?CA，
∴

BC

CD

=

CA

BC

，
∵∠ACB=90°，点D在AC边上，
∴∠ACB=∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠A=∠CBD；
（2）∵∠A=∠CBD，∠A=α，
∴∠CBD=α，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=α，
∵cot∠A=

AC

BC

，
∴AC=BC?cotα=2?cotα，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=α，BC=2，
∵tan∠CBD=

CD

BC

，
∴CD=BC?tanα=2tanα，
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα；