Question

已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．（Ⅰ） 求证：BC∥平面PAD；（

已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．（Ⅰ） 求证：BC∥平面PAD；（Ⅱ） 若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥BC；（Ⅲ） 求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．
因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．…（6分）
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．
因为EF?面EFG，所以EF⊥BC．…（8分）
（Ⅲ）解：设PA的中点为N，连结DN，NC，
因为PD=AD，N为中点，所以DN⊥PA．
又△PAC中，PC=AC，N为中点，所以NC⊥PA．
所以∠CND是所求二面角的平面角．…（10分）
依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，
因为PD∩AD=D，所以CD⊥面PAD．
因为DN?面PAD，所以CD⊥DN．
在Rt△CND中，DN=

2

2

，NC=

6

2

．
于是cos∠CND=

ND

NC

=

3

3

，即所求二面角的余弦值是

3

3

．…（13分）