Question

如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内均绕太阳做逆时针匀速圆周运动，地球的公转轨道半径为R1、公转周

如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内均绕太阳做逆时针匀速圆周运动，地球的公转轨道半径为R1、公转周期为T1．地球和太阳中心连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角），视角最大时是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期，已知该行星的最大视角为θ，万有引力常量为G．求：（1）太阳的质量M等于多少；（2）行星绕太阳运动的周期T2的大小．（3）若某时刻太阳、行星和地球三者的位置如图所示，此时行星正处于最佳观测时期，则至少经过多长时间行星又处于最佳观测时期．

Answer 1

（1）太阳对地球的万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：

GMm

R 2 1

＝mR1

4π2

T 2 1

①
所以太阳的质量为：M＝

4π2 R 3 1

G T 2 1

②
（2）设行星的轨道半径为R₂，视角最大时，太阳与行星的连线和地球与行星的连线互相垂直，如图所示，则行星的轨道半径为：
R₂=R₁sinθ                   ③
太阳对地球的万有引力提供向心力，

GMm

R 2 2

=mR₂

4π2

T 2 2

④
T₂=

R 3 2 R 3 1

T₁  ⑤
由③⑤得：T2＝T1

sin3θ

⑥
（3）第一次处于最佳观测期时，行星超前地球处于B处，则下一次处于最佳观测期必定是地球超前行星，即如图所示．设经历时间为t，则：
行星转过的角度α₁=2π+∠BOB′⑦
地球转过的角度α₂=2（

π

2

-θ）+∠BOB′⑧
则△α=α₁-α₂=π+2θ        　  ⑨
又              t=

△α

ω2?ω1

            　⑩
由⑥⑦（14）（15）得：t＝

(π+2θ) sin3θ

2π(1? sin3θ )

T 1（11）
答：（1）太阳的质量M＝

4π2 R 3 1

G T 2 1

；
（2）行星绕太阳运动的周期T2＝T1

sin3θ

．
（3）若某时刻太阳、行星和地球三者的位置如图所示，此时行星正处于最佳观测时期，则至少经过时间t＝

(π+2θ) sin3θ

2π(1? sin3θ )

T 1行星又处于最佳观测时期．