Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（Ⅰ）证明：PB⊥AC；（Ⅱ）证明：平面PMB⊥平面PAD；（Ⅲ）求点A到面PMB的距离．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：如图，
连接AC，BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD⊥面ABCD，∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD，而PB?面PBD，∴PB⊥AC；
（Ⅱ）证明：∵PD⊥面ABCD，BM?面ABCD，∴PD⊥BM，
又∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，且M为AD中点，
∴AD⊥BM，又AD∩PD=D，
∴BM⊥面PAD，又∵BM?面PBM，∴面PMB⊥面PAD；
（Ⅲ）解：设点A到面PMB的距离为h，对于三棱锥P-AMB，有V_P-AMB=V_A-BMP，
∴

1

3

×

1

2

×

a

2

×

3 a

2

×a＝

1

3

×

1

2

×

3 a

2

×

5 a

2

×h，∴h＝

5 a

5

．
即点A到面PBM的距离为

5 a

5

．