Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，等比数列{bn}的前n项和为Mn，且Mn=2n-t．（1）求数列{an}和数列{bn

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，等比数列{bn}的前n项和为Mn，且Mn=2n-t．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}中c2k-1=k?bk，c2k=a2k-1，其中k=1，2，3，…，求数列{cn}的前2n项和T2n．

Answer 1

（1）由S_n=n²，①得S_n-1=（n-1）²，（n≥2）②
①-②得，a_n=2n-1（n≥2）；
又a₁=S₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
由M_n=2ⁿ-t，得b₁=2-t，b₂=M₂-M₁=2，b₃=M₃-M₂=4，
∵{b_n}为等比数列，∴2²=4（2-t），
解得t=1，
∴bn＝2n?1．
（2）c_2k-1=k?b_k=k?2^k-1，c_2k=a_2k-1=2（2k-1）-1=4k-3，
∴T_2n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2n）
=（1?1+2?2+3?2²+…+n?2^n-1）+[1+5+9+…+（4n-3）]
令S=1?1+2?2+3?2²+…+n?2^n-1③，
则2S=1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ④，
③-④得，-S=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ=（1-n）?2ⁿ-1，
∴S=（n-1）?2ⁿ+1．
∴T_2n═（n-1）?2ⁿ+1+

n(4n?2)

2

=（n-1）?2ⁿ+1+2n²-n．