Question

如图1，以△ABC的边AB，AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M为BC边的中点，MA的延长线交D

如图1，以△ABC的边AB，AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M为BC边的中点，MA的延长线交DE于N（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时，线段AM线段DE的关系是（ ）。（2）如图2，当∠BAC≠90°时，探究线段AM与线段DE的关系。（3）如图3，当∠BAC≠90°时，∠BAE=岚，∠CAD=（180﹣а）°，则线段DE与AM的大小关系怎样？其夹角∠DNM是多少？请给出证明．

Answer 1

解：（1）DE=2AM且AM⊥DE。 理由如下： ∵AB=AE，∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，AC=AD， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴BC=ED，∠ABM=∠AEN， ∵M为BC边的中点， ∴BC=2AM， ∴DE=2AM； ∴AM=BM=CM， ∴∠ABM=∠BAM， ∴∠BAM=∠AEN， ∵∠BAM+∠EAN=90°， ∴∠AEN+∠EAN=90°， ∴∠ANE=90°， ∴AM⊥DE； 即DE=2AM，AM⊥DE； （2）DE=2AM且AM⊥ED。理由如下： 延长AM到K，使MK=AM，连BK，则ABKC是平行四边形， ∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°， ∵∠DAC=∠EAB=90°， ∴∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠ABK=∠DAE， 又∵BK=AD，AB=AE， ∴△ABK≌△EAD（SAS）， ∴AK=DE，∠BAK=∠AED ∴DE=2AM， ∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=90°， ∴AM⊥DE， 即DE=2AM且AM⊥ED； （3）DE=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。理由如下： 延长AM到P，使MP=MA，连接BP 又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA， ∴△BMP≌△CMA（SAS）， ∴BP=AC=AD；∠BPM=∠CAM； 且∠PBM=∠ACM， ∴BP⊥AC，∠ABP+∠BAC=180°， 又∵∠BAE+∠CAD=а°+（180﹣а）°=180°， ∴∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠ABP=∠DAE， 又∵BP=AD，AB=AE， ∴△ABP≌△EAD（SAS）， ∴PA=DE，∠BPA=∠ADE=∠CAM， ∴DE=2AM， ∠DNM=180度﹣（∠ADE+∠DAN）=180度﹣（∠CAM+∠DAN）=∠DAC=（180﹣а）° 即E=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。 故答案为：DE=2AM且AM⊥DE。