Question

（2014?东城区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交

（2014?东城区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC=4，AC=3CE时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=

1

2

BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，cosC=

1

3

，
∴BE=2，cos∠ABC=

1

3

．
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB＝

BE

cos∠ABC

＝6．
设⊙O的半径为r，则AO=6-r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴

OM

BE

＝

AO

AB

．
∴

r

2

＝

6?r

6

．
解得：r=

3

2

∴⊙O的半径为

3

2

．