Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 acosB-bcosA= 3 5 c ．（ I）求 tanA

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 acosB-bcosA= 3 5 c ．（ I）求 tanA tanB 的值；（II）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中， acosB-bcosA= 3 5 c ， 由正弦定理得 sinAcosB-sinBcosA= 3 5 sinC= 3 5 sin(A+B)= 3 5 sinAcosB+ 3 5 cosAsinB 即sinAcosB=4cosAsinB， 则 tanA tanB =4 ； （Ⅱ）由 tanA tanB =4 得 tanA=4tanB＞0 tan(A-B)= tanA-tanB 1+tanAtanB = 3tanB 1+4 tan 2 B = 3 cotB+4tanB ≤ 3 2 cotB?4tanB = 3 4 当且仅当 4tanB=cotB，tanB= 1 2 ，tanA=2 时，等号成立， 故当 tanA=2，tanB= 1 2 时， tan（A-B）的最大值为 3 4 ．