Question

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等{bn}差数列满足b1=a1，b4=S3（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等{bn}差数列满足b1=a1，b4=S3（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bnan，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n是S_n和1的等差中项，
∴S_n=2a_n-1…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即

an

an?1

=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1，S_n=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（Ⅱ）∵an＝2n?1，bn＝2n?1，
∴c_n=

bn

an

=（2n-1）?（

1

2

）^n-1，…（9分）
∴T_n=1?(

1

2

)0+3?

1

2

+5?(

1

2

)2+…+（2n-1）?（

1

2

）^n-1，①…（10分）

1

2

Tn=1?

1

2

+3?(

1

2

)2+5?(

1

2

)3+…+（2n-1）?(

1

2

)n，②
①-②，得；

1

2

Tn=1+2[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+（

1

2

）^n-1]-（2n-1）?(

1

2

)n
=1+2?

1 2 [1?( 1 2 )n?1]

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