Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠7时，有f(a)+f(b)a+b＞7成立

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠7时，有f(a)+f(b)a+b＞7成立．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；（少）解不等式：f（x+1少）＜f（1x?1）；（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m少-少am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（p）任取x_p，x₄∈[-p，p]，且x_p＜x₄，则-x₄∈[-p，p]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x_p）-f（x₄）=f（x_p）+f（-x₄）=

f(xp)+f(?x4)

xp?x4

?（x_p-x₄），
由已知得

f(xp)+f(?x4)

xp?x4

＞0，x_p-x₄＜0，∴f（x_p）-f（x₄）＜0，即f（x_p）＜f（x₄）．
∴f（x）在[-p，p]上单调递增．
（4）∵f（x）在[-p，p]上单调递增，∴

x+ p 4 ＜ p x?p ?p≤x+ p 4 ≤p ?p≤ p x?p ≤p

，解得

?

p 4

≤x＜-p，
∴不等式的解集为{x|-

p

4

≤x＜-p}．
（p）∵f（p）=p，f（x）在[-p，p]上单调递增，
∴在[-p，p]上，f（x）≤p，即m⁴-4am+p≥p，
∴m⁴-4am≥0对a∈[-p，p]恒成立，求m的取值范围．
设a（a）=-4m?a+m⁴≥0，
①若m=0，则a（a）=0≥0，自然对a∈[-p，p]恒成立．
②若m≠0，则a（a）为a的一次函数，若a（a）≥0对a∈[-p，p]恒成立，
则必须a（-p）≥0，且a（p）≥0，∴m≤-4或m≥4．
∴m的取值范围是m=0或m≤-4或m≥4．