Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x，（1）求出f（x）的解析式；（2）解关于x的不

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x，（1）求出f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式f[x（2x-1）]＞3．

Answer 1

（1）设x＜0，则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x²+2x，
∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x=-f（x），
∴f（x）=-x²+2x，x＜0．
∴f（x）=

x2+2x，x≥0 ?x2+2x，x＜0

．
（2）由图象可知函数f（x）在定义域上单调递增，且f（1）=3，
∴不等式f[x（2x-1）]＞3等价为f[x（2x-1）]＞f（1），
即x（2x-1）＞1，
∴2x²-x-1＞0，解得x＞1或x＜-

1

2

．
即不等式f[x（2x-1）]＞3的解集为{x|x＞1或x＜-

1

2

}．