Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax2（a≥0），l是曲线y=g

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；（Ⅲ）求证：（1+22×3）（1+43×5）（1+85×9）…[1+2n(2n+1+1)(2n+1)]＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=-

x

x+1

，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞0，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）-ax²-x，
设M（x₀，y₀）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），
即y=（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）
令h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，则
h′（x）=

1

x+1

-2ax-1-（

1

x0+1

-2ax₀-1），
∵h′（x₀）=0，
∴h′（x）在（-1，+∞）上是减函数，
∴h（x）在（-1，x₀）上是增函数，在（x₀，+∞）上是减函数，
∴h（x）在x=x₀处取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，
∴曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（-1，+∞）是恒成立，当且仅当x=0时，等号成立，
故当x＞-1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，
∵

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2（

1

2n?1+1

-

1

2n+1

），
∴ln{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n?1+1

-

1

2n+1

）]=2（

1

2

-

1

2n+1

）=1-

2

2n+1

＜1，
∴（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n+1+1)(2n+1)

]＜e．