Question

E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB于M，交DC的延长线于N，求证：（1）EC2=DC?CN；（2）CN=14

E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB于M，交DC的延长线于N，求证：（1）EC2=DC?CN；（2）CN=14；（3）NE=54．

Answer 1

解答：证明：（1）∵NM⊥EC，即∠DEN=90°，
∴∠DEC=∠N=90°-∠CEN，
又∵∠DCE=∠ECN，
∴△ECD∽△NCE，
∴

CE

DC

＝

CN

CE

，即CE²=DC?CN．

（2）由题意知：AB=CD=1，CE=BE=

1

2

，
由（1）的结论知：CN=CE²÷DC=

1

4

．

（3）在Rt△CEN中，EN=

CE2+CN2

=

( 1 4 )2+( 1 2 )2

=

5

4

．