Question

已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）定义域和值域都是[1，b2]，求b的值

已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）定义域和值域都是[1，b2]，求b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求b（1+a+b）的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x²-6x+b，其图象的对称轴为直线x=3，
故f（x）在区间[1，3]单调递减，在区间[3，+∞）单调递增．
①当2＜b≤6时，f（x）在区间[1，

b

2

]上单调递减；故

f(1)＝ b 2 f( b 2 )＝1

，无解；
②当6＜b≤10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，

b

2

]上单调递增，且f（1）≥f（

b

2

），故

f(1)＝ b 2 f(3)＝1

，解得b=10；
③当b＞10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，

b

2

]上单调递增，且f（1）＜f（

b

2

），故

f( b 2 )＝ b 2 f(3)＝1