在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A-B)=cosC.(Ⅰ)若a=32,b=10,求c;(Ⅱ)
在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A-B)=cosC.(Ⅰ)若a=32,b=10,求c;(Ⅱ)求acosC?ccosAb的取值范围....
在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A-B)=cosC.(Ⅰ)若a=32,b=10,求c;(Ⅱ)求acosC?ccosAb的取值范围.
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(Ⅰ)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sin(
-C),
∵△ABC是锐角三角形,
∴A-B=
-C,即A-B+C=
,①
又A+B+C=π,②
由②-①,得B=
,
由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB,得(
)2=c2+(3
)2-2c×3
cos
,
整理得:c2-6c+8=0,
解得:c=2,或c=4,
当c=2时,b2+c2-a2=(
)2+22-(3
)2=-4<0,
∴b2+c2<a2,此时A为钝角,与已知矛盾,故c≠2,
则c=4;
(Ⅱ)由(Ⅰ),知B=
,
∴A+C=
,即C=
-A,
∴利用正弦定理化简得:
=
=
π |
2 |
∵△ABC是锐角三角形,
∴A-B=
π |
2 |
π |
2 |
又A+B+C=π,②
由②-①,得B=
π |
4 |
由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB,得(
10 |
2 |
2 |
π |
4 |
整理得:c2-6c+8=0,
解得:c=2,或c=4,
当c=2时,b2+c2-a2=(
10 |
2 |
∴b2+c2<a2,此时A为钝角,与已知矛盾,故c≠2,
则c=4;
(Ⅱ)由(Ⅰ),知B=
π |
4 |
∴A+C=
3π |
4 |
3π |
4 |
∴利用正弦定理化简得:
acosC?ccosA |
b |
sinAcosC?cosAsinC |
sinB |