Question

数学直线与方程

Answer 1

　　直线与方程
　　（1）直线的倾斜角
　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
　　（2）直线的斜率
　　①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即(参见图一) 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
　　当（参见图二）时，k>=0 ；当（参见图三） 时，k< 0 ；当（参见图三）时， k不存在。
　　②过两点的直线的斜率公式：（参见图五）
　　注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
　　（3）直线方程
　　① 点斜式： y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k，且过点 (x1,y1)
　　注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
　　当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
　　② 斜截式：y = kx+b ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
　　③ 两点式： （参见图六） 直线过两点（x1,y1）(x2,y2) ，
　　④ 截矩式：（参见图七）其中直线l 与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b 。
　　⑤ 一般式：Ax + By + C = 0 （A，B不全为0）
　　注意：
　　1 各式的适用范围
　　2 特殊的方程如：
　　平行于x轴的直线：y = b （b为常数）； 平行于y轴的直线：x=a （a为常数）；
　　（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
　　① 平行直线系 平行于已知直线 （A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x+B0y+C0 = 0（C为常数）
　　② 过定点的直线系
　　（ⅰ）斜率为k的直线系：y-y0 = k(x-x0) ，直线过定点(x0,y0) ；
　　（ⅱ）过两条直线 l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 （E为参数），其中直线l2 不在直线系中。
　　（5）两平行直线距离公式
　　在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
　　（6）两直线平行与垂直
　　当 l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2 时，(参见图八)
　　；
　　注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
　　（7）两条直线的交点
　　l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0 相交
　　交点坐标即方程组 的一组解。

Answer 2

L1：A1x+B1y+C1=0
L2：A2x+B2y+C2=0
若L1//L2，则A1B2-A2B1=0
若L1与L2相交，则A1B2-A2B1≠0（但要补充不重合的条件）
若L1与L2重合，则A1/A2=B1/B2=C1/C2，（还要结合各系数是否为0具体分析一下）

L1:x+(1+m)y=2-m
L2：2mx+4y=-16
（1）若L1与L2相交，则有
1×4-2m×(1+m)≠0
2m²+2m-4≠0
2(m+2)(m-1)≠0
m≠-2 且 m≠1
即当m≠-2且m≠1时，L1与L2相交
（2）若L1//L2，则有
1×4-2m(1+m)=0
2m²+2m-4=0
2(m+2)(m-1)=0
m=-2 或 m=1
当m=-2时
L1：x-y=4
L2：-4x+4y=-16，化简为x-y=4
L1与L2表示同一直线，即L1与L2重合了
当m=1时
L1：x+2y=1
L2：2x+4y=-16
两直线不重合
所以只有当m=1时，L1//L2