Question

∫xcos2xdx的不定积分

Answer 1

计算过程如下：

∫xcos2xdx 

=(1/2)∫xdsin2x 

=(1/2)xsin2x -(1/2)∫sin2xdx 

=(1/2)xsin2x +(1/4)cos2x + C

不定积分的意义：

设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’（C‘为某个常数）。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 2

∫xcos2xdx的不定积分：
∫xcos2xdx
=(1/2)∫xdsin2x
=(1/2)x.sin2x -(1/2)∫sin2xdx
=(1/2)x.sin2x +(1/4)cos2x + C

Answer 3

∫xcos2xdx
=(1/2)∫xdsin2x
=(1/2)x.sin2x -(1/2)∫sin2xdx
=(1/2)x.sin2x +(1/4)cos2x + C

Answer 4

分部积分法：
∫x cos2x dx
=∫ 1/2 x（sin2x）' dx
=1/2 x sin（2x）- 1/2∫sin2x dx
=1/2 x sin（2x）- 1/4 cos2x +C