Question

已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有 f(x)+f(y)=f( x+y 1+xy )

已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有 f(x)+f(y)=f( x+y 1+xy ) ，且当x＜0时，f（x）＞0．（Ⅰ）验证函数 g(x)=ln 1-x 1+x 是否满足上述这些条件；（Ⅱ）你发现这样的函数f（x）还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，得 1-x 1+x ＞0 ，解之得-1＜x＜1，得函数的定义域为（-1，1）；…（2分） ∵ g(x)+g(y)=ln 1-x 1+x +ln 1-y 1+y = ln( 1-x 1+x ? 1-y 1+y ) = ln 1-x-y+xy 1+x+y+xy g( x+y 1+xy ) = ln 1- x+y 1+xy 1+ x+y 1+xy = ln 1-x-y+xy 1+x+y+xy ∴ g(x)+g(y)=g( x+y 1+xy ) 成立，…（4分） 又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴ 1-x 1+x ＞1 ，可得 g(x)=ln 1-x 1+x ＞0 成立 综上所述，可得函数 g(x)=ln 1-x 1+x 满足题意所述条件．…（6分） （II）发现函数f（x）是区间（-1，1）上的奇函数，且是减函数． 证明如下 ①将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0 再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0 ∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）在（-1，1）上是奇函数．　…（9分） ②以-y代替y，代入条件得 f(x)+f(-y)=f( x-y 1-xy ) ， 结合函数为奇函数得 f(x)-f(y)=f( x-y 1-xy ) 当-1＜x＜y＜1时 x-y 1-xy ＜0，结合已知条件得 f( x-y 1-xy )＞0 ∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y）， 因此，函数f（x）在（-1，1）上是减函数．…（12分）