Question

已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0

已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2-（2k-3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA?OB-3，求k的值．

Answer 1

（1）由题意可知：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
即-12k+5＞0                 
∴k＜

5

12

．                             

（2）∵

x1+x2＝2k?3＜0 x1x2＝k2+1＞0

，
∴x₁＜0，x₂＜0．                        

（3）依题意，不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-（x₁+x₂）=-（2k-3），
OA?OB=|-x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，
∵OA+OB=2OA?OB-3，
∴-（2k-3）=2（k²+1）-3，
解得k₁=1，k₂=-2．                   
∵k＜

5

12

，
∴k=-2．