已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1(a＞0)．（1）设0＜a＜1，试讨论f（x）单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a
已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1(a＞0)．（1）设0＜a＜1，试讨论f（x）单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a＝14时，若?x1∈（0，2），...
已知函数f(x)＝lnx?ax+1?ax?1(a＞0)．（1）设0＜a＜1，试讨论f（x）单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a＝14时，若?x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
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（1）∵函数f(x)＝lnx?ax+
?1(a＞0)，
所以f′（x）=
（x＞0），
令h（x）=ax2-x+1-a（x＞0）
当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=
-1．
当a=
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当0＜a＜
时，
-1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈（1，
-1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（
-1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当
＜a＜1时，0＜
-1＜1，x∈（0，
-1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈（
-1，1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减
综上所述：当0＜a＜
时，函数f（x）在（0，1）、（
-1，+∞）单调递减，（1，
-1）单调递增；
当a=
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当
＜a＜1时，函数f（x）在（0，
-1）单调递减，（
-1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．
（2）当a＝
时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，
所以对任意x1∈（0，2），有f（x1）≥f（1）=-
，
又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
所以-
≥g（x2），x2∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）min=g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4-b2≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时，g（x）min=g（2）=8-4b≤-
| 1?a |
| x |
所以f′（x）=
| ?ax2+x+a?1 |
| x2 |
令h（x）=ax2-x+1-a（x＞0）
当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=
| 1 |
| a |
当a=
| 1 |
| 2 |
当0＜a＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
x∈（1，
| 1 |
| a |
x∈（
| 1 |
| a |
当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
x∈（
| 1 |
| a |
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减
综上所述：当0＜a＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当a=
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| 2 |
当
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| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（2）当a＝
| 1 |
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所以对任意x1∈（0，2），有f（x1）≥f（1）=-
| 1 |
| 2 |
又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
所以-
| 1 |
| 2 |
又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）min=g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4-b2≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时，g（x）min=g（2）=8-4b≤-
