Question

设函数f（x）=2sinφcos2x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=π6时取得最大值．（1）求函数f（x）的解析

设函数f（x）=2sinφcos2x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=π6时取得最大值．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=π12对称，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ
=sinφ（1+cos2x）+cosφsin2x-sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）．
∵x=

π

6

时f（x）求得最大值，
∴2×

π

6

+φ＝2kπ+

π

2

，即φ＝2kπ+

π

6

．
又因0＜φ＜π，所以=

π

6

．
于是函数f（x）的解析式为f(x)＝sin(2x+

π

6

)，其最小正周期为π；
（2）设（x，y）是函数g（x）图象上任一点，
则其关于直线x＝

π

12

的对称点为(

π

6

?x，y)，该点在函数f（x）的图象上，
∴y＝sin[2(

π

6

?x)+

π

6

]＝sin(

π

2

?2x)＝cos2x，
于是g（x）=cos2x．
由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ?

π

2

≤x≤kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ?

π

2

，kπ](k∈Z)．