Question

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．（1

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．（1）求a；（2）设f（x）的导函数是f'（x），若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；（3）对实数m的值，讨论关于x的方程f（x）=m的解的个数．

Answer 1

解：（1）f'（x）=-3x²+2ax．…（1分）
据题意，f′(1)＝tan

π

4

＝1
∴-3+2a=1，即a=2…（3分）
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x．

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）	-7	-	0	-	1
f（x）	-1		-4		-3

∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4．…（6分）
∵f'（x）=-3x²-4x的对称轴为x＝

2

3

，且抛物线开口向下，
∴x∈[-1，1]时，f'（x）最小值为f'（-1）与f'（1）中较小的
∵f'（1）=1，f'（-1）=-7
∴当x∈[-1，1]时，在f'（x）的最小值为-7…（7分）
∴当x∈[-1，1]时，在f'（n）的最小值为-7…（8分）
∴f（m）+f'（n）的最小值为-11
（3）求得f(0)＝?4，f(

4

3

)＝?

76

27

．…（10分）
依题意可画出函数y=f（x）草图，得
当m＞?

76

27

或m＜-4时，方程有一解；
当m＝?

76

27

或m=-4时，方程有两解；
当?4＜m＜?

76

27

时，方程有三解；