Question

已知函数f（x）=x2+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．（1）求实数m的所有取值组成的

已知函数f（x）=x2+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f（x）在区间[-2，1]上的最大值g（m）；（3）设h（x）=-12x2+12x+7，令F（m）=g(m)，m∈Ah(m)，m∈B，其中B=?RA，若关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解答：解：（1）∵f（x）=x²+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值，
∴函数在区间[-2，1]上是单调函数，
又∵函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-

m

2

∴必有-

m

2

≥1，或-

m

2

≤-2，解得m≥4或 m≤-2，
∴实数m的所有取值组成的集合A={m|m≥4或 m≤-2}；
（2）当 m≥4时，-

m

2

≤-2，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（1）=m-3；
当m≤-2 时，-

m

2

≥1，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递减，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由题意可知F（m）=

m-3，m≥4 -2m，m≤-2 - 1 2 m2+ 1 2 m+7，-2＜m＜4

，
关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，
作图可知实数a的取值范围为：a＞

57

8

或1＜a＜4