Question

P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1

P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S2，S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．正确的是（　　）A．①②B．①③C．②③D．②④

Answer 1

如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面橘段积；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．故①不一定正确；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之羡伍腔比，S₄不一定等于2S₂；故此选项错误；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AD=

1

2

PE×AB，
∴△APD与兄衫△PBA高度之比为：

PF

PE

=

AB

AD

，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴

PF

CD

=

PE

BC

，
∴P点在矩形的对角线上．
故④选项正确，
故选D．