Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式．（2）若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），过E作EF与x轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x．EF的长度为L，求L关于x的函数关系式？并写出x的取值范围？（3）在（2）的条件下，当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，
∴

?1+b+c＝0 ?9?3b+c＝0

，
解得

b＝?2 c＝3

，
∴该抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

?3k+b＝0 b＝3

，
解得

k＝1 b＝3

，
所以，直线BC的解析式为y=x+3，
设E点横坐标为x，
EF的长度为L=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∵E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），
∴-3＜x＜0，
∴L关于x的函数关系式为L=-x²-3x（-3＜x＜0）；

（3）∵EF的长度L=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=-

3

2

时，线段EF的值最大为

9

4

，
此时，-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
所以，点E（-

3

2

，

15

4

）．