Question

（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于

（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE= ，求sinE的值.

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Answer 1

（1）证明：连接OA ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO=90° ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ∴BC＝CA，PB＝PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO＝∠PAO＝90° ∴PB为⊙O的切线 （2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC  ∵tan∠ABE="1/2  " ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC  ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2 t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC ∴AF= t  进而由勾股定理得PF＝ t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

略