Question

已知全集U=R，非空集合A={x| x-2 x-(3a+1) ＜0}，B={x| x- a 2 -2 x-a ＜0}．

已知全集U=R，非空集合A={x| x-2 x-(3a+1) ＜0}，B={x| x- a 2 -2 x-a ＜0}．（Ⅰ）当a= 1 2 时，求（? U B∩A）；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当 a= 1 2 时 A={x|2＜x＜ 5 2 } ， B={x| 1 2 ＜x＜ 9 4 } ，（2分） C U B = {x|x≤ 1 2 或x≥ 9 4 } ，（C U B ）∩A= {x| 9 4 ≤x＜ 5 2 } ．（4分） （Ⅱ）由q是p的必要条件，即p?q，可知A?B．（6分） 由a 2 +2＞a，得 B={x|a＜x＜a 2 +2}．（8分） ①当3a+1＞2，即 a＞ 1 3 时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由 a≤2 a 2 +2≥3a+1 ，解得 1 3 ＜a≤ 3- 5 2 ． ②当3a+1=2，即a= 1 3 时，A=?，不符合题意； ③当3a+1＜2，即 a＜ 1 3 时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由 a≤3a+1 a 2 +2≥2 ，解得  - 1 2 ≤ a ＜ 1 3 ． 综上， a∈[- 1 2 ， 1 3 ) ∪ ( 1 3  ， 3- 5 2 ] ．（12分）