Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =4，公差d＞0，且a 1 ，a 5 ，a 21 分别是正数等比数列{b n }的 b 3

已知等差数列{a n }的首项a 1 =4，公差d＞0，且a 1 ，a 5 ，a 21 分别是正数等比数列{b n }的 b 3 ， b 5 ， b 7 项．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }对任意n * 均有 c 1 b 1 + c 2 b 2 + … + c n b n = a n+1 成立，设{c n }的前n项和为T n ，求T n ．

Answer 1

（Ⅰ）∵a 5 =4+4d，a 21 =4+20d，且a 1 ，a 5 ，a 21 成等比数列， ∴（4+4d） 2 =4（4+20d）， 整理得：d 2 =3d， ∵公差d＞0， ∴d=3， ∴a n =4+（n-1）×3=3n+1． 又b 3 =a 1 =4，b 5 =a 5 =16， ∴q 2 =4， ∵q＞0， ∴q=2， ∴b 1 = b 3 q 2 =1， ∴b n =2 n-1 ． （Ⅱ）∵ c 1 b 1 + c 2 b 2 +…+ c n b n =a n+1 ，① ∴ c 1 b 1 + c 2 b 2 +…+ c n-1 b n-1 =a n （n≥2），② ①-②： c n b n =a n+1 -a n =3， ∴c n =3b n =3?2 n-1 （n≥2）， 又c 1 =b 1 a 2 =7， ∴c n = 7(n=1) 3 ?2 n-1 (n≥2) ． ∴T n =c 1 +c 2 +…+c n =7+3?2 1 +3?2 2 +…+3?2 n-1 =7+3（2 1 +2 2 +…+2 n-1 ）=7+ 6(1 -2 n-1 ) 1-2 =3?2 n +1．