Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；（Ⅱ）当x

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；（Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=x2?x?2x?3．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）?f（2+2+x）=f（2-2-x）?f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时，f（x）=

x2?x?2

x?3

当0＜x＜2时，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=

(x+4)2?(x+4)?2

x+4?3

=

x2+7x+10

x+1

（7分）
f′（x）=

x2+2x?3

(x+1)2

（9分）
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因为0＜x＜2，所以x=1．
因为x∈（0，1）时，f′（x）＜O，x∈（1，2）时，f′（x）＞O，
所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．（12分）