Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k?x?1x+1．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，

已知函数f（x）=lnx，g（x）=k?x?1x+1．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln（1+1a21）+ln（1+1a22）+…+ln（1+1a2n）＞2n2n+2．

Answer 1

（Ⅰ）F(x)＝lnx?k?

x?1

x+1

（x＞0）．
F′(x)＝

1

x

?

2k

(x+1)2

=

x2+2(1?k)x+1

x(x+1)2

，
x²+2（1-k）x+1=0的判别式△=4（1-k）²-4=4（k²-2k）．
①当△≤0即k∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，则F（x）在（0，+∞）单调递增；
②当k＜0时，F'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，则F（x）在（0，+∞）单调递增；
③当k＞2时，方程x²+2（1-k）x+1=0的两正根为k?1?

k2?2k

，k?1+

k2?2k

．
则F（x）在(0，k?1?

k2?2k

)单调递增，(k?1?

k2?2k

，k?1+

k2?2k

)单调递减，(k?1+

k2?2k

，+∞)单调递增．
综上：当k≤2时，只有单调递增区间（0，+∞）．
当k＞2时，单调递增区间为(0，k?1