Question

给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中

给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将此结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{bn}，求和：b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2b nbn+1 （n∈N*）；（Ⅲ）已知当n∈N*，?n≥6，不等式（1-mn+3）＜（12）m（其中m=1，2，3，…，n）成立，求出满足等式3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．

Answer 1

解答：解 （ I）由题意可得

它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（ II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是

1+3+…(2n?1)

n

＝n，
由（ I）可知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，于是表n中最后一行的唯一一个数为bn＝n?2n?1．
因此

bk+2

bkbk+1

＝

(k+2)2k+1

k2k?1?(k+1)2k

＝

k+2

k(k+1)2k?2

=

2(k+1)?k

k(k+1)2k?2

＝

1

k2k?3

?

1

(k+1)2k?2

，（k=1，2，3，…，n）
故

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

b nbn+1

=（

1

1×2?2

?

1

2×2?1

）+（

1

2×2?1

?

1

3×20

）+…+（

1

n×2n?3

?

1

(n+1)×2n?2

）
=

1

1×2?2

?

1

(n+1)×2n?2

=4?

1

(n+1)×2n?2

…（9分）
（ III） 当n≥6时，
(1?

1

n+3

)n＜

1

2

，
(1?

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，
…
(1?

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1?

1

n+3

)n+(1?

2

n+3

)n+…+(1?

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，
所以3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，
所以当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，3²+4²=5²，等式成立；
当n=3时，3³+4³+5³=6³，等式成立；
当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴是偶数，但7⁴是奇数，所以等式不成立；
当n=5时，3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵是奇数，但8⁵是偶数，所以等式不成立；
综上，满足条件的所有正整数为2，3．