Question

如图甲所示，空间Ⅰ区域存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，左右边界线MN与PQ相互平行，MN右侧空间Ⅱ区

如图甲所示，空间Ⅰ区域存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，左右边界线MN与PQ相互平行，MN右侧空间Ⅱ区域存在一周期性变化的匀强电场，方向沿纸面垂直MN边界，电场强度的变化规律如图乙所示（规定向左为电场的正方向）．一质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻从电场中A点由静止开始运动，粒子重力不计．（1）若场强大小E1=E2=E，A点到MN的距离为L，为使粒子进入磁场时速度最大，交变电场变化周期的最小值T0应为多少？粒子的最大速度v0为多大？（2）设磁场宽度为d，改变磁感应强度B的大小，使粒子以速度v1进入磁场后都能从磁场左边界PQ穿出，求磁感应强度B满足的条件及该粒子穿过磁场时间t的范围．（3）若电场的场强大小E1=2E0，E2=E0，电场变化周期为T，t=0时刻从电场中A点释放的粒子经过n个周期正好到达MN边界，假定磁场足够宽，粒子经过磁场偏转后又回到电场中，向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等．求粒子到达MN时的速度大小v和匀强磁场的磁感应强度大小B．

Answer 1

（1）当粒子在电场中一直做加速运动，进入磁场时速度最大，设加速时间为t，则L=

qE

2m

t2
        T₀=2t
解得 T₀=2

2mL qE

 
由动能定理有  qEL=

1

2

m

v

2 0

解得  v₀=

2qEL m

（2）设粒子在磁场运动的轨道半径为r，则有
qv₁B=

m v 2 1

r

r＞d
解得  B＜

mv1

qd

根据几何关系，粒子在磁场中通过的弧长s应满足的条件是
d＜s＜

πd

2

粒子穿过磁场时间  t=

s

v1

解得  

d

v1

＜t＜

πd

2v1

（3）粒子在电场变化的前半周期内加速度大小  a₁=

2qE0

m

后半周期内加速度大小  a₂=

qE0

m

在一个周期内速度的增量△v=a₁

T

2

-a₂

T

2

经过n个周期到达MN时  v=n△v
解得 v=

nqE0T

2m

 
粒子在磁场中运动的周期  T=

2πm

qB

粒子在磁场中运动的时间  t′=

T

2

粒子在向右运动的最大距离和A点到MN的距离相等，说明粒子返回电场减速运动正好是前面加速的逆过程，根据对称性可知，在磁场中运动时间t′应满足
   t′=（2k+1）

T

2

（k=0、1、2、3…）
解得  B=

2πm

(2k+1)qT

  （k=0、1、2、3…）
答：
（1）交变电场变化周期的最小值T₀应为2

2mL qE

，粒子的最大速度v₀为

2qEL m

．
（2）磁感应强度B满足的条件是B＜

mv1

qd

，该粒子穿过磁场时间t的范围为

d

v1

＜t＜

πd

2v1

．
（3）粒子到达MN时的速度大小v为

nqE0T

2m

，匀强磁场的磁感应强度大小B为

2πm

(2k+1)qT

（k=0、1、2、3…）．