Question

已知函数f(x)＝ax2+xe?lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=12时，判断函数f（x）的单调性

已知函数f(x)＝ax2+xe?lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=12时，判断函数f（x）的单调性并写出其单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

Answer 1

（Ⅰ）因为x＞0，
当a=

1

2

时，f′(x)＝2ax+

1

e

?

1

x

=x+

1

e

?

1

x

=

ex2+x?e

ex

，
令f'（x）＞0，所以x＞

?1+ 1+4e2

2e

，
令f'（x）＜0，所以0＜x＜

?1+ 1+4e2

2e

；
所以函数f（x）的单调增区间为(

?1+ 1+4e2

2e

，+∞)；
单调减区间为(0，

?1+ 1+4e2

2e

)．-------------------------------------（7分）

（Ⅱ）解一：令g(x)＝ax+

1

e

(x＞0)，h(x)＝

lnx

x

(x＞0)
当a＞0时，g(x)＞

1

e

----------------------------------------------------------（10分）h′(x)＝

1?lnx

x2

(x＞0)
令h'（x）＞0，则x∈（0，e）
所以h（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

---------------------------------------------------------------（13分）
所以x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+

1

e

＞

lnx

x

即ax+

1

e

＞

lnx

x

，f(x)＝ax2+

x

e

?lnx＞0恒成立，
所以f （x）=0无解．----------------------------------------------------------------------（15分）
解二：设f （x）的极小值点为x₀，则f(x0)＝ax02+

x0

e

?lnx0，
令g（x₀）=

x0

e

?lnx0，则g'（x₀）=

1

e

?

1

x0

，---------------------------------（10分）
当x₀＞e 时，g'（x₀）＞0，
当x₀＜e 时，g'（x₀）＜0，
所以g（x₀）_min=g（e）=0，即

x0

e

?lnx0＞0，------------------------------------------（13分）
故f(x0)＝ax02+

x0

e

?lnx0＞0恒成立．
所以f （x）=0无解．-------------------------------------------------（15分）