Question

已知函数f(x)=-22x-a+1，若f（x）≥-2x在x≥a上恒成立，则实数a的取值范围是______

已知函数f(x)=-22x-a+1，若f（x）≥-2x在x≥a上恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵函数f(x)=

-2

2x-a+1

，
∴f（x）≥-2^x可化为，

-2

2x-a+1

≥-2x，
即2^2x-a+2^x-2≥0，
令h（x）=2^2x-a+2^x-2，
则h′（x）=2^2x-a?2ln2+2^x?ln2
=（2^2x-a?2+2^x）ln2，
∵ln2＞0，
∴h′（x）＞0，
∴函数f(x)=

-2

2x-a+1

在[a，+∞）上单调递增，
∴h（x）=2^2x-a+2^x-2≥h（a）=2?2^a-2，
∵f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等价于，
h（a）=2?2^a-2≥0，
∴a≥0，
∴实数a的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．