Question

已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，

已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=2时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）²+（m-2）²=4，
解之得：m=0或m=

4

5

，
故所求点P的坐标为P（0，0）或P（

8

5

，

4

5

）．
（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在，
由题知圆心M到直线CD的距离为

2

2

，所以

2

2

＝

|?2k?1|

1+k2

，
解得，k=-1或k=-

1

7

，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）设P（2m，m），MP的中点Q（m，

m

2

+1），
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：（x-m）²+（y-

m

2

-1）²=m²+（

m

2

-1）²，
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x²+y²-2y=0且（2x+y-2）=0，
解得

x＝0 y＝2

或

x＝ 4 5 y＝ 2 5

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（

4

5

，

2

5

）．