Question

如图①所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．（1）求

如图①所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图②所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，2），
∴c=2；
又∵tan∠OAC=

OC

OA

=2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵点A在抛物线y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²-3x+2；

（2）存在．
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
∴x=-

b

2a

＝?

?3

2×1

＝

3

2

；
∴AE=OE-OA=

3

2

-1=

1

2

，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴

PE

EA

＝

CD

DP

，即

PE

1 2

=

3 2

2?PE

，
解得PE=

1

2

或PE=

3

2

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，

3

2

）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）

（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN?t+

1

2

MN?（2-t），
=

1

2

MN?（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴当t=1时，S_△BCN的最大值为1．
备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．