Question

椭圆的方程与直线问题

一条倾斜角为45度的直线L与X^2+4Y^2=4交于A.B两点 求A.B两点中点坐标

请写出过程
谢谢
不好意思是 中点坐标的轨迹方程

Answer 1

那答案就是下面喽
用数形结合

设这条直线和椭圆交于（x，y），（m，n）两点
那么就有x^2+4y^2=4 令为1式
和m^2+4n^2=4 令为2式 成立
那么2式减1式得到
（m-x)(m+x)+4(n-y)(n+y)=0 令为3式
又因为这条直线倾斜角为45度
那么就有(n-y)/（m-x)=tan45=1
那么3式可化为
(m+x)+4(n+y)=0
那么中点就为(m+x)/2+4(n+y)/2=0即
(m+x)/2=X
4(n+y)/2=2(n+y)=Y
有X+2Y=0这个关系

Answer 2

tan45度=1，所以直线斜率是1
设直线是y=x+a
代入椭圆
x^2+4(x+a)^2=4
5x^2+8ax+4a^2-4=0
x1+x2=-8a/5
y1+y2=(x1+a)+(x2+a)=(x1+x2)+2a=-8a/5+2a=2a/5

AB中点是[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
所以AB中点横坐标是-4a/5,纵坐标是a/5
x=-4a/5,y=a/5
所以x=-4y，y=-x/4

5x^2+8ax+4a^2-4=0
这个方程有解则判别式=64a^2-80a^2+80>=0
a^2<=5
-√5<=a<=√5
x=-4a/5
所以-4√5/5<=x<=4√5/5

所以y=-x/4,其中-4√5/5<=x<=4√5/5

Answer 3

本题中,A,B中点为一条曲线,不是某个确定点.
如果要求确定点坐标 那么缺条件