Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC，BD相交于点F，过F作EF ∥ AB，交AD于

如图，在直角梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC，BD相交于点F，过F作EF ∥ AB，交AD于E．（1）求证：梯形ABFE是等腰梯形；（2）若△DCF的面积是12，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）过D作DG⊥AB，交AB于G． 在直角梯形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°． ∵∠DGB=90°，AB=2DC， ∴四边形DGBC是矩形． ∴DC=GB． ∴AB=2GB， ∴AG=GB． ∴三角形ABD是等腰三角形，即DA=DB． ∴∠DBA=∠DAB． ∵EF ∥ AB，AE与BF相交于点D 又∵四边形EABF是梯形． ∵∠DBA=∠DAB． ∴四边形ABFE是等腰梯形．…（3分） （2）∵AB ∥ DC， ∴∠FAB=∠FCD． ∵∠AFB=∠DFC， ∴△AFB ∽ △CFD． ∵AB=2DC，S △CFD =12， ∴S △AFB =48．…（4分） ∵ FC AF = DC AB = 1 2 ，有 S △DCF S △ADF = 1 2 ，有S △ADF =24． 同理，S △CFB =24． ∴梯形ABCD的面积=12+48+24+24=108．…（5分）