Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 cos2C=- 1 4 ．（I）求sinC的值； （II）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 cos2C=- 1 4 ．（I）求sinC的值； （II）当a=2，2sinA=sinC时，求b的长及△ABC的面积．

Answer 1

（I）∵cos2C=1-2sin 2 C=- 1 4 ，0＜C＜π， ∴sinC= 10 4 ； （Ⅱ）∵a=2，2sinA=sinC， ∴由正弦定理 a sinA = c sinC 得：c= asinC sinA =2a=4， ∵cos2C=2cos 2 C-1=- 1 4 ，0＜C＜π， ∴cosC=± 6 4 ， 由余弦定理c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC，得b 2 ± 6 b-12=0， 解得：b= 6 或b=2 6 ， 则当b= 6 时，S △ABC = 1 2 absinC= 15 2 ；当b=2 6 时，S △ABC = 1 2 absinC= 15 ．