(2006?泰安)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接AF,CE.(1)求证
(2006?泰安)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接AF,CE.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若∠BAD的...
(2006?泰安)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接AF,CE.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G,则△ACG是等腰三角形吗?并说明理由.
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(1)证明:∵矩形ABCD,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF,又∠AEB=∠CFD=90°,
∴AE∥CF,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解:△ACG是等腰三角形.
理由如下:∵AE∥FG,
∴∠G=∠GAE.
∵AG平分∠BAD,
∴∠BAG=∠DAG.
又OA=
AC=
BD=OD,
∴∠ODA=∠DAO.
∵∠BAE与∠ABE互余,∠ADB与∠ABD互余,
∴∠BAE=∠ADE.
∴∠BAE=∠DAO,
∴∠EAG=∠CAG,∴∠CAG=∠G,
∴△CAG是等腰三角形.
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF,又∠AEB=∠CFD=90°,
∴AE∥CF,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解:△ACG是等腰三角形.
理由如下:∵AE∥FG,
∴∠G=∠GAE.
∵AG平分∠BAD,
∴∠BAG=∠DAG.
又OA=
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2 |
1 |
2 |
∴∠ODA=∠DAO.
∵∠BAE与∠ABE互余,∠ADB与∠ABD互余,
∴∠BAE=∠ADE.
∴∠BAE=∠DAO,
∴∠EAG=∠CAG,∴∠CAG=∠G,
∴△CAG是等腰三角形.
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