Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a?2x-a）有

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a?2x-a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I） 由题意得f（-x）=f（x），
即log4(4?x+1)+k(?x)＝log4(4x+1)+kx，
化简得log4

4?x+1

4x+1

＝2kx，…（2分）
从而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k＝?

1

2

…（6分）
（II）由题意，原方程化为

4x+1

a?2x?a

＝4

x

2

＝2x且a?2^x-a＞0
即：令2^x=t＞0

(1?a)t2+at+1＝0，(1) at?a＞0，(2)

…（8分）
函数y=（1-a）t²+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：
若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1-a）t²+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）
当二次函数y=（1-a）t²+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即a＝?2?2

2

也满足不等式（2）
综上：a＞1或a＝?2?2

2

…（12分）