已知函数f（x）=x2-2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e，e]时，不等式f（x）＜m恒成立
已知函数f（x）=x2-2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e，e]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）...
已知函数f（x）=x2-2lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e，e]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x2-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．
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（1）由函数f（x）=x2-2lnx知其定义域为{x|x＞0}…（1分）
∵f′(x)＝2x?
＝
令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）…（4分）
（2）由题意知不等式f（x）＜m对?x∈[
，e]恒成立
∴m＞f(x)max，x∈[
，e]…（5分）
∴令f'（x）=0得x=1或-1（舍）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
∴f(x)max＝max{f(
)，f(e)}…（7分）
又f(
)＝
+2＜f(e)＝e2?2
∴f(x)max＝f(e)＝e2?2
∴m＞e2-2
∴实数m的取值范围是（e2-2，+∞）…（9分）
（3）依题意：关于x的方程f（x）=x2-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
即方程x2-2lnx=x2-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
∴化简得方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根 …（10分）
令g（x）=x-2lnx-a，（x＞0）
∴g′(x)＝1?
＝
令g'（x）=0，得x=2
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0．
∴函数g（x）在区间（0，2）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数
∴要使方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，则
即
∵f′(x)＝2x?
| 2 |
| x |
| 2(x+1)(x?1) |
| x |
令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）…（4分）
（2）由题意知不等式f（x）＜m对?x∈[
| 1 |
| e |
∴m＞f(x)max，x∈[
| 1 |
| e |
∴令f'（x）=0得x=1或-1（舍）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
| x |
| (
| 1 | （1，e） | e | ||||
| f'（x） | - | 0 | + | ||||||
| f（x） |
| 减 | 极小值f（1） | 增 | e2-2 |
| 1 |
| e |
又f(
| 1 |
| e |
| 1 |
| e2 |
∴f(x)max＝f(e)＝e2?2
∴m＞e2-2
∴实数m的取值范围是（e2-2，+∞）…（9分）
（3）依题意：关于x的方程f（x）=x2-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
即方程x2-2lnx=x2-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
∴化简得方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根 …（10分）
令g（x）=x-2lnx-a，（x＞0）
∴g′(x)＝1?
| 2 |
| x |
| x?2 |
| x |
令g'（x）=0，得x=2
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0．
∴函数g（x）在区间（0，2）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数
∴要使方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，则
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